EduBeam

Fachwerkstab ​

Ein Fachwerkstab überträgt nur Normalkraft. In EduBeam gibt es keinen eigenen Fachwerk-Elementtyp: ein Fachwerkstab ist ein Balkenelement mit beiden Endgelenken angehakt, wodurch die Biegeterme herauskondensiert werden und die unten stehende Dehnsteifigkeit übrig bleibt.

LEA
Schema des ebenen Fachwerkstabs

Freiheitsgrade ​

Der ebene Fachwerkstab hat an jedem Knoten zwei Freiheitsgrade:

  • Verschiebung (Dx): Verschiebung entlang der x-Achse.
  • Verschiebung (Dz): Verschiebung entlang der z-Achse.

Lokale Steifigkeitsmatrix ​

Die lokale Steifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs lautet

Kl=(EAL0−EAL00000−EAL0EAL00000)\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1ex] -\frac{EA}{L} & 0 & \frac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

mit

  • EE dem Elastizitätsmodul des Materials,
  • AA der Querschnittsfläche,
  • LL der Stablänge.

Transformationsmatrix ​

Die Transformationsmatrix T\mathbf{T} des Elements überführt die lokale Steifigkeitsmatrix in das globale Koordinatensystem.

T=(cos(α)sin(α)00−sin(α)cos(α)0000cos(α)sin(α)00−sin(α)cos(α))\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}

Globale Steifigkeitsmatrix ​

Die globale Steifigkeitsmatrix Kg\mathbf{K_g} ergibt sich aus der Transformationsmatrix T\mathbf{T} und der lokalen Steifigkeitsmatrix Kl\mathbf{K_l}:

Kg=TT⋅Kl⋅T\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}

Ausmultipliziert ergibt sich

Kg=EAl[c2cs−c2−cscss2−cs−s2−c2−csc2cs−cs−s2css2];c=cos(α)s=sin(α)\mathbf{K_g}={ {EA}\over{l}}\left[\begin{array}{cccc} c^2&cs&-c^2&-cs\\ cs&s^2&-cs& -s^2\\ -c^2&-cs&c^2&cs\\ -cs&-s^2&cs&s^2 \end{array}\right];\;\;\begin{array}{c}c=\cos(\alpha)\\s=\sin(\alpha)\end{array}