EduBeam

Elemento viga ​

El único elemento de EduBeam es una viga de Timoshenko de dos nodos en el plano x–z. Frente a la viga clásica de Euler–Bernoulli añade la deformación por cortante, relevante en barras de gran canto o cortas y despreciable en las esbeltas. El convenio de signos se resume en la página de convenios.

LEA
Esquema de la viga de Timoshenko 2D

Grados de libertad ​

La viga de Timoshenko 2D tiene tres grados de libertad en cada nodo:

  • Traslación (Dx): desplazamiento según el eje x.
  • Traslación (Dz): desplazamiento según el eje z.
  • Giro (Ry): giro alrededor del eje y.

Las cargas se especifican en la dirección de los grados de libertad:

  • Fuerza horizontal (Fx): fuerza según el eje x.
  • Fuerza vertical (Fz): fuerza según el eje z.
  • Momento (My): momento alrededor del eje y.

Matriz de rigidez local ​

La matriz de rigidez de la viga en coordenadas locales es

Kl=(EAL00−EAL00012EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−12EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)−EAL00EAL000−12EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)012EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ))\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \frac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}

donde

  • EE es el módulo de Young del material,
  • AA es el área de la sección,
  • LL es la longitud de la barra,
  • IyI_y es el momento de inercia de la sección respecto al eje y,
  • φ\varphi es el parámetro adimensional de flexibilidad a cortante

φ=12EIykGAL2\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}

con GG el módulo de cortante y kk el coeficiente de cortante de la sección (área eficaz a cortante kAkA). Para φ→0\varphi \to 0 (barra esbelta o kk muy grande) la matriz se reduce a la de la viga de Euler–Bernoulli.

Rótulas de extremo ​

Una rótula en un extremo del elemento libera el grado de libertad de giro correspondiente: el giro se condensa fuera de la matriz 6 × 6 (condensación estática, M=0M = 0 en ese extremo) y el elemento se ensambla con los grados de libertad restantes. Con ambos extremos liberados solo sobreviven los términos axiles y el elemento se comporta como una barra de celosía.

Cargas de elemento ​

Las cargas distribuidas, concentradas y térmicas se convierten en cargas nodales equivalentes feq\mathbf{f}_{eq} (las fuerzas de empotramiento perfecto cambiadas de signo) y se suman al vector global de cargas. Tras la solución, los esfuerzos a lo largo del elemento se recuperan a partir de los desplazamientos de extremo más la solución particular exacta de la carga de elemento, de modo que los diagramas son exactos a lo largo de la barra.

Matriz de transformación ​

La matriz de transformación del elemento, T\mathbf{T}, lleva la matriz de rigidez local al sistema de coordenadas global.

T=(cos(α)sin(α)0000−sin(α)cos(α)0000001000000cos(α)sin(α)0000−sin(α)cos(α)0000001)\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Matriz de rigidez global ​

La matriz de rigidez global, Kg\mathbf{K_g}, se obtiene a partir de la matriz de transformación T\mathbf{T} y la matriz de rigidez local Kl\mathbf{K_l}:

Kg=TT⋅Kl⋅T\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}