EduBeam

Элемент балки ​

Единственный элемент в EduBeam — двухузловая балка Тимошенко в плоскости x–z. По сравнению с классической балкой Эйлера–Бернулли она добавляет деформацию сдвига, которая важна для высоких или коротких стержней и исчезает для гибких. Правила знаков сведены на странице правил знаков.

LEA
Схема 2D-балки Тимошенко

Степени свободы ​

2D-балка Тимошенко имеет три степени свободы в каждом узле:

  • Перемещение (Dx): перемещение вдоль оси X.
  • Перемещение (Dz): перемещение вдоль оси Z.
  • Поворот (Ry): поворот вокруг оси Y.

Нагрузки задаются в направлениях степеней свободы:

  • Горизонтальная сила (Fx): сила вдоль оси X.
  • Вертикальная сила (Fz): сила вдоль оси Z.
  • Момент (My): момент вокруг оси Y.

Локальная матрица жёсткости ​

Матрица жёсткости балки в локальных координатах имеет вид:

Kl=(EAL00−EAL00012EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−12EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)−EAL00EAL000−12EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)012EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ))\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \frac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}

где:

  • EE — модуль Юнга материала
  • AA — площадь поперечного сечения балки
  • LL — длина балки
  • IyI_y — момент инерции сечения относительно оси y
  • φ\varphi — безразмерный параметр податливости на сдвиг

φ=12EIykGAL2\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}

где GG — модуль сдвига, а kk — коэффициент сдвига сечения (эффективная площадь сдвига kAkA). При φ→0\varphi \to 0 (гибкая балка или очень большое kk) матрица сводится к матрице жёсткости балки Эйлера–Бернулли.

Концевые шарниры ​

Шарнир на конце элемента освобождает соответствующую поворотную степень свободы: поворот исключается из матрицы 6 × 6 (статическая конденсация, M=0M = 0 на этом конце), и элемент собирается с оставшимися степенями свободы. При освобождении обоих концов остаются только продольные члены, и элемент ведёт себя как стержень фермы.

Нагрузки на элементы ​

Распределённые, сосредоточенные и температурные нагрузки преобразуются в эквивалентные узловые нагрузки feq\mathbf{f}_{eq} (взятые с обратным знаком реакции защемления) и добавляются в глобальный вектор нагрузок. После решения внутренние усилия вдоль элемента восстанавливаются из концевых перемещений плюс точное частное решение от нагрузки на элемент, поэтому эпюры вдоль стержня точны.

Матрица преобразования ​

Матрица преобразования элемента T\mathbf{T} служит для перевода локальной матрицы жёсткости в глобальную систему координат.

T=(cos(α)sin(α)0000−sin(α)cos(α)0000001000000cos(α)sin(α)0000−sin(α)cos(α)0000001)\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Глобальная матрица жёсткости ​

Глобальная матрица жёсткости Kg\mathbf{K_g} получается умножением матрицы преобразования элемента T\mathbf{T} на локальную матрицу жёсткости Kl\mathbf{K_l}:

Kg=TT⋅Kl⋅T\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}